灰色预测之GM（1，1）模型

2018-02-12

由于在数学建模的过程中，常常碰到需要做预测的问题，故本人最近学习了灰色预测模型。所谓灰色，是指对含有不确定因素的系统进行预测的方法。而自然界中的大多数问题都含有不确定因素，故这个算法对解决实际问题很有帮助，下面本人就谈谈自己一点浅薄的理解吧。

简介

灰色预测模型(Gray Forecast Model)是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种方法。灰色预测模型所需建模信息较少，运算方便，建模精度高。在灰色预测中，应用得最多的灰色预测模型是GM(1,1)模型，GM(1,1)模型是灰色系统理论中一种灰色动态预测模型。该模型将时间序列转化为微分方程，建立抽象系统的发展变化动态模型。

算法步骤

1.数据的检验与处理

为了保证GM（1，1）建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验处理。

设原始数据列为$x^{(0)}=(x^0(1),x^0(2),….x^0(n))$，计算数列的级比:

$ \lambda(k)=\frac{x^{(0)}(k-1)}{x^{(0)}(k)}\quad,k=2,3,…,n$

如果所有的级比都落在可容覆盖区间$X=(e^{\frac{-2}{n+1}},e^{\frac{2}{n+1}})$内，则数列$x^{(0)}$可以建立GM（1，1）模型且可以进行灰色预测。否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：

$y^{(0)}(k)=x^{(0)}(k)+c\quad,k=1,2,…,n$(取c使得数据列的级比都落在可容覆盖内)

2.对历史时间序列数据进行一阶累加处理，得到生成数列$X^{（1）}$：$X^{（1）}=（X^{（1）}(1),X^{（1）}(2),…X^{（1）}(n))=(\sum\limits^{1}_{m=1}{x}^{（0）}(m),…,\sum\limits^{n}_{m=1}{x}^{（0）}(m))$

生产相应的均值序列：

$z^{（1）}=（z^{（1）}(2),X^{（1）}(3),…X^{（1）}(n))$,

式中$z^{（k）}=（0.5*X^{（1）}(k)+0.5X^{（1）}(k-1)),k=1,…n$

3.建立灰微分方程模型GM(1,1)

$x^{(0)}(k)+\alpha z^{(1)}(k)=b$

相应的白化微分方程模型为：$\frac{dx^{(1)}(t)}{dt}+ax^{(1)}(t)=b$

4.利用等式求得a，b的值$\left[\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right] =(B^TB^{-1})B^TY_1$

其中：

$$
Y=\left[\begin{matrix}X^{(0)}(2)\\X^{(0)}(3)\\M\\X^{(0)}(n)\end{matrix}\right]
$$

解为：$\hat{x}^{(1)}(k+1)=(x^{(0)}(1)-\frac{b}{a})e^{-ak}+\frac{b}{a}\quad ,k=1,2,…,n-1$

于是得到预测值：$\hat{x}^{(1)}(k+1)=(x^{(0)}(1)-\frac{b}{a})e^{-ak}+\frac{b}{a}\quad ,k=1,2,…,n-1$

从而相应地得到预测值：

$\hat{x}^{(0)}(k+1)=\hat{x}^{(1)}(k+1)-\hat{x}^{(1)}(k)\quad,k=1,2,…,n-1$

5.检验预测值

（1）残差检验：计算相对残差

$\varepsilon(k)=\frac{x^{(0)}(k)-\hat{x}^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k)}\quad,k=1,2,…,n$

这里$\hat{x}^{(0)}(k)={x}^{(0)}(k),$如果对所有的$|\varepsilon(k)|<0.1$,则认为达到较高的要求；否则，若对所有的$|\varepsilon(k)|<0.2$,则认为达到一般要求。

（2）级比偏差值检验：首先由步骤1中的级比公式求出$\lambda(k)=\frac{x^{(0)}(k-1)}{x^{(0)}(k)}$

而后再由发展系数a，求出相应的级比偏差$\rho(k)=1-\frac{1-0.5a}{1+0.5a}\lambda(k)$

如果对所有的$|\rho(k)|<0.1$则认为达到较高的要求，否则，若对于所有的$|\rho(k)|<0.2$,则认为达到一般要求

灰色预测的实例

1.首先准备数据，由于本人最近参加了数学建模美赛，故使用美赛mcm中c题的数据作为本例的数据。以az的天然气能源作为原始数据序列：

	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999
原始值	343414.509	347261.3399	369742.9504	389838.7377	402390.1462	342889.3714	342839.3757	369871.869	386769.6754	403262.1076

	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
预测值	387760	390850	393960	397100	400260	403450	406660	409900	413170	416460
原始值	432810	424023	406478	406536	425413	428444	4319845691	438524.2236	458726	413259

下面上matlab代码：

clc,clear;  
syms a b;  %定义a，b两个变量
c=[a b]';  
A=[343414.509	347261.3399	369742.9504	389838.7377	402390.1462	342889.3714	342839.3757	369871.869	386769.6754	403262.1076];
B=cumsum(A);  %原始数据累加  
n=length(A);  
for i=1:(n-1)  
    C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; %生成累加矩阵  
end  
%计算待定参数的值  
D=A;D(1)=[];  
D=D';  
E=[-C;ones(1,n-1)]; % ones生成一个1行n-1列的矩阵，并把-c和ones贴到一起付给e
c=inv(E*E')*E*D;  %inv：矩阵求逆
c=c';  
a=c(1);b=c(2);  
%预测后续数据  
F=[];F(1)=A(1);  
for i=2:(n+10)  %只推测后10个数据，可以从此修改  
    F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a;  
end  
G=[];G(1)=A(1);  
for i=2:(n+10)  %只推测后10个数据，可以从此修改  
    G(i)=F(i)-F(i-1);  %得到预测出来的数据  
end  
t1=1990:1999;  
t2=1990:2009;  %多10组数据  
G  
h=plot(t1,A,'o',t2,G,'-'); %原始数据与预测数据的比较  
set(h,'LineWidth',1.5);

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